吴军数学通识讲义

总 序 001
前 言 009
基础篇
第 1 章 理解数学的线索：从毕达哥拉斯讲起
1.1 勾股定理：为什么在西方叫毕达哥拉斯定理 022
1.2 数学的预见性：无理数是毕达哥拉斯定理的推论 030
1.3 数学思维：如何从逻辑出发想问题 036
1.4 黄金分割：数学和美学的桥梁 045
1.5 优选法：华罗庚化繁为简的神来之笔 058
第 2 章 数列与级数：承上启下的关键内容
2.1 数学的关联性：斐波那契数列和黄金分割 070
2.2 数列变化：趋势比当下重要 075
2.3 级数：传销骗局里的数学原理 079
2.4 等比级数：少付一半利息，多获得一倍回报 092
第 3 章 数学边界：数学是万能的吗
3.1 数学的局限性：从勾定理到费马大定理 104
3.2 探寻数学的边界：从希尔伯特第十问题讲起 108
数字篇
第 4 章 方程：新方法和新思维
4.1 鸡兔同笼问题：方程这个工具有什么用 116
4.2 一元三次方程的解法：数学史上著名的发明权之争 126
4.3 虚数：虚构的工具有什么用 135
第 5 章 无穷大和无穷小：从数值到趋势
5.1 无穷大：为什么我们难以理解无限大的世界 143
5.2 无穷小：芝诺悖论和它的破解 149
5.3 第二次数学危机：牛顿和贝克莱的争论 156
5.4 极限：重新审视无穷小的世界 163
5.5 动态趋势：无穷大和无穷小能比较大小吗 171
几何篇
第 6 章 基础几何学：公理化体系的建立
6.1 几何学的起源：为什么几何学是数学中最古老的分支 186
6.2 公理化体系：几何学的系统理论从何而来 194
第 7 章 几何学的发展：开创不同数学分支融合的先河
7.1 非欧几何：换一条公理，几何学会崩塌吗 205
7.2 圆周率：数学工具的意义 214
7.3 解析几何：如何用代数的方法解决几何问题 221
7.4 体系的意义：为什么几何能为法律提供理论基础 232
代数篇
第 8 章 函数：重要的数学工具
8.1 定义和本质：从静态到动态，从数量到趋势 244
8.2 因果关系：决定性和相关性的差别 253
第 9 章 线性代数：超乎想象的实用工具
9.1 向量：数量的方向与合力的形成 262
9.2 余弦定理：文本分类与简历筛选 278
9.3 矩阵：多元思维的应用 284
微积分篇
第 10 章 微分：如何理解宏观和微观的关系
10.1 导数：揭示事物变化的新规律 300
10.2 微分：描述微观世界的工具 307
10.3 奇点：变化连续和光滑是稳定性的基础 312
第 11 章 积分：从微观变化了解宏观趋势
11.1 积分：微分的逆运算 323
11.2 积分的意义：从细节了解全局 327
11.3 最优化问题：用变化的眼光看最大值和最小值 333
11.4 发明权之争：牛顿和莱布尼茨各自的贡献 342
*11.5 体系的完善：微积分公理化的过程 348
概率和数理统计篇
第 12 章 随机性和概率论：如何看待不确定性
12.1 概率论：一门来自赌徒的学问 364
12.2 古典概率：拉普拉斯对概率的系统性论述 366
12.3 伯努利试验：随机性到底意味着什么 371
12.4 均值与方差：理想与现实的差距 378
第 13 章 小概率和大概率：如何资源共享和消除不确定性
13.1. 泊松分布：为什么保险公司必须有很大的客户群 386
13.2 高斯分布：大概率事件意味着什么 393
*13.3 概率公理化：理论和现实的统一 404
第 14 章 前提条件：度量随机性的新方法
14.1 前提条件：条件对随机性的影响 415
14.2 差异：概率、联合概率和条件概率 421
14.3 相关性：条件概率在信息处理中的应用 430
14.4 贝叶斯公式：机器翻译是怎样工作的 433
第 15 章 统计学和数据方法：准确估算概率的前提
15.1 定义：什么是统计学 442
15.2 实践：怎样做好统计 446
15.3 古德 - 图灵折扣估计：如何防范黑天鹅事件 450
15.4 换个眼光看世界：概率是一种世界观，统计是一种方法论 459
终篇
第 16 章 数学在人类知识体系中的位置
16.1 数学和哲学：一头一尾的两门学科 468
16.2 数学和自然科学：数学如何改造自然科学 474
16.3 数学和逻辑学：为什么逻辑是一切的基础 480
16.4 数学和其他学科：为什么数学是更底层的工具 486
16.5 未来展望：希尔伯特的讲演 493
附录
附录 1 黄金分割等于多少 497
附录 2 为什么斐波那契数列相邻两项的比值收敛于黄金分割 498
附录 3 等比级数求和算法 500
附录 4 一元 N 次方程 x N =1 的解 501
附录 5 积分的其他两种计算方法 503
附录 6 大数定律 505
附录 7 希尔伯特退休讲演的英文译文 507
终篇
第 16 章 数学在人类知识体系中的位置
21.1 数学和哲学 /458
21.2 数学和自然科学 /465
21.3 数学和逻辑学 /469
21.4 数学和其他学科 /473
21.5 著名数学家希尔伯特退休前的讲演 /478

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